精算师带你了解“赌球”背后的数学原理

　　相信这几天大家的朋友圈已经被各种世界杯主题的新闻和广告刷爆了。作为一个不太懂体育、不太追球星的保险精算类公众号博主，面对“”这么大一个热点，除了“赌球”之外，我实在也想不到其他可以和精算沾上点边的主题了。因此，今天的文章，我想给大家科普一下赌球背后的数学原理，以及赌球的庄家是如何赚钱的，好让大家更加理性、明白地看待赌球这项博彩活动。

　　我曾经写过一篇文章《赌场如何赚钱？“赌场游客”怎么样才可以“稳赚不赔”？》，来介绍赌场是如何赚钱的。

　　文章中介绍了，赌博的基础数学原理主要有两个：“期望值”和“大数定律”。其中，“期望值”是一个随机事件也许会出现的结果乘以其概率的总和，例如掷一枚骰子，每个“点数”出现的概率为1/6，其“点数”的期望值就是3.5；“大数定律”则是指当随机事件的次数足够多，其结果的平均值总会趋近于期望值，例如掷一枚硬币，当次数足够多时我们会发现，硬币正面向上的次数占总次数的比例总是会趋近于二分之一。

　　以上数学原理告诉我们，随机事件的偶然之中包含着必然。赌博的庄家只要能够把握好赌博中每一种可能结果的出现概率，当下注的玩家达到少数，庄家就一定能从中抽取一定的利润（通常被称为“抽水”）。

　　成熟的赌球公司会聘请一批专业技术人员来对球赛的结果进行“初始预测”。这其中，有专门从事体育赛事研究的体育专家，有专门负责数学建模的统计专家（美国有一部分精算师也会受聘于博彩公司），有专门负责从网络上“扒”球迷观点的IT专家。他们通常被称为博彩业的“操盘手”或“开盘专家”，其工作是利用手头的信息（如历史比分、阵型、关键队员是否有伤病、裁判是谁、主场客场等）、数据模型（如广义线性模型GLM）和球迷的观点（如在网上公开支持某球队的球迷人数）来设定“开盘赔率”（Opening Odds）。

　　例如，我在某博彩平台上看到6月17日德国队对墨西哥队比赛的开盘赔率如下：

　　上表中，赔率（Odds）代表着某玩家在该平台上向该比赛结果投注，出现该比赛结果时玩家也可以得到的“回报”倍数。例如，小明在该平台上下注100元赌德国队胜，假如德国队真的赢得比赛，小明能够获得145元（=100元×14.5）。隐含概率（Implied Probability）则代表该赔率背后所对应的该比赛结果出现的概率，它是赔率的倒数。例如，该比赛中“德国队胜”的赔率为1.45，隐含在背后的信息就是“如果我选择在该赔率（1.45）下投注，就代表我认为德国队有68.9%的概率胜出”。

　　如果把三种结果的隐含概率加到一起，我们会得到：68.9% + 23.8% + 11.8% = 104.5%。104.5%是大于100%的，这在某种程度上预示着什么呢？这在某种程度上预示着，该平台在这场比赛中有4.5%（=104.5% - 100%）的“抽水”。

　　由于大数定律的存在，“随机事件的偶然之中包含着必然”。因此，在这套系统里面，只要投注的玩家足够多，博彩平台每收104.5元的“赌金”，就只需要支出100元的“彩金”，平台净赚4.5元。

　　可以看到，博彩平台赚钱，根本不需要靠往哪支球队上面“押宝”。因为“抽水”的存在，无论比赛结果如何，博彩平台都有得赚，而且所收到的赌注越多，赚得越多。

　　博彩平台在开出“开盘赔率”后，是不是就等于可以躺着赚钱了？事实并非如此。我们继续以上面德国队与墨西哥队的球赛为例：

　　“德国队胜”的赔率为1.45，这是博彩平台的操盘手（即体育专家、统计专家、IT数据专家等）根据信息与数据所“预判”出的结果。这个赔率，只有在与下注玩家对比赛的结果预期一致的前提下，才可通过大数定律进行“抽水”，否则平台仍有亏钱的风险。举个最极端的例子，在该平台上，所有玩家全部都下注“德国队胜”，而比赛的最终结果真的是“德国队胜”，则该博彩平台每收到100元的赌注，都需要支出145元的彩金（因为所有下注的玩家全部都预测正确），这就会导致博彩平台亏损。

　　因此，博彩平台的操盘手会根据玩家实际下注的情况对赔率进行动态调整，从而对玩家的选择进行引导，以保证本场比赛赔率系统的稳定，使平台无论在何种比赛结果下都可以“稳定抽水”。例如，“德国队胜”1.45的赔率所代表的隐含概率为68.9%，当实际下注“德国队胜”的比例高于68.9%时（比如如75%），操盘手就会调低“德国队胜”的赔率，而提高“平局”和“墨西哥队胜”的赔率，来吸引玩家对另外两种比赛结果进行下注。

　　目前，操盘手对于赔率的动态调整，早已经实现了编程自动化。电脑系统会自动、实时地根据玩家的下注情况对赔率进行动态调整，以保证博彩平台能够得到稳定的“抽水”。

　　对于上面赌球的“操盘”过程，大家听上去有没有一点金融市场中“操盘”的感觉？实际上，金融市场中各种股票、债券、衍生品的买卖交易，确实与“赌博”有一定的相近之处：投资者（玩家）依据市场上的各种新闻、消息以及个人自己的观点来对金融理财产品进行买卖，从而决定各种金融理财产品的价格变革，以求获得一定的“投资回报”；投行与券商（博彩平台）则通过赚取每笔交易中的手续费（抽水）来获得平稳的利润。

　　既然博彩市场与金融市场有一定的相似之处，那“赌球”是否也存在理论上的“无风险套利”（Arbitrage）呢？

　　理论上是有的。只要你能找到两个不同的博彩平台，通过运用不同平台上的不同赔率，使你自己下注的赔率系统中所有结果的隐含概率之和小于100%，就能轻松实现理论上的“无风险套利”。

　　假设我们之前所用的数据来自于博彩平台A，后来我们又发现了一个博彩平台B。博彩平台B上“德国队胜”的赔率为1.6，高于平台A；“平局”的赔率同样为4.2；“墨西哥队胜”的赔率为6，低于平台A的8.5。而且，平台B三种比赛结果的隐含概率总和为103.0%，即代表平台B的“抽水”只有3.0%的水平，低于平台A的4.5%的水平。

　　我们在两个平台上对于不同的比赛结果均选择“赔率较大的一方”进行下注：在A平台上，我们最终选择押“墨西哥队胜”，投注11.8元；在B平台上，我们最终选择押“德国队胜”，投注62.5元；由于平台A、B对于“平局”的赔率一样，因此我们随便选择一个平台就好，投注23.8元。

　　我们能够正常的看到，无论比赛结果如何，我们都用98.1元的支出，换得了100元的回报，“无风险套利”1.9元。

　　“赌球”与金融市场一样，只要存在信息不对称或政策不对等，就会在短期内出现一定的套利空间。由于不同平台所设置的“抽水”水平不同，不同平台“操盘手”对于赔率的预测存在一定差别或对于动态赔率的更新不及时，以及不同平台玩家对比赛结果的观点不同等，都给这种套利创造了一定的机会。

　　不过，所有的套利都只会在非常短的时间内存在（通常转瞬即逝），因为“套利”一旦被市场发现，就会有大批玩家开始使用同样的策略进行套利操作，套利的空间立马就会消失（比如上面例子中，当大量玩家在A平台上押“墨西哥队胜”，在B平台上押“德国队胜”，平台A和平台B的赔率都会动态调整，直到套利空间消失）。

　　目前，美国也有一些专门提供“赌球”赔率信息的对比网站，可以给玩家展示各个比赛结果对应的赔率在哪个博彩平台上是最优的、哪些平台的赔率正在上涨、哪些平台的赔率正在下降。比如，上面的图片表格中，左侧一列分别代表了三种比赛结果，上侧一行分别代表了不同的博彩平台，中间的数字则展示了相对应的赔率。

　　虽然我们上面介绍了赌球中“无风险套利”的理论可行性，但是在真实的操作中却并不一定可行，因此请大家别轻易尝试。

　　首先，如今赌球的“操盘手”都是应用程序软件对赔率进行自动化调整，如果有套利空间出现，很快就会被系统自动“修复”；其次，即使找到套利空间，其中的“抽水”比例必然很低，想要获得可观的套利收益必须要投入大笔资金；再次，由于套利的机会转瞬即逝，套利者就需要在各个平台上“预留”大量资金，这也将损失很大一部分投资收益；最后，有些博彩网站的运营并不正规，甚至是非法的，抱着套利、投机的心态去进行这项活动，很有一定的概率会血本无归。

　　希望这篇文章能从娱乐与科普的角度让大家探索赌球背后的数学原理，也能成为大家在观看世界杯之余的一点有趣谈资